高校数学

必要条件や十分条件の由来と丸暗記じゃない判別法

数学を習ったことがある人なら一度は必要条件や十分条件を聞いたことがありますよね!
ただなぜ「必要」や「十分」といった言い方をするのか理解している人は意外に少ないのではないでしょうか?
そこで今回は必要条件や十分条件といった呼び方の由来と正しい判別法について解説します!

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この記事をマスターすれば、必要条件や十分条件の意味を本質から理解して、丸暗記せずに判別できるようになるよ♪

4パターンの対応関係

そもそも必要条件や十分条件とはなにか確認しておきましょう

まず「は(ならば)、である」といった客観的な文章を命題といいます
例えば「犬は動物である」「彼が平成30年度の首相ならば彼は安倍晋三である」といった感じです
そしてその命題が正しいとき「その命題は真である」と表現し、正しくないとき「その命題は偽である」と表現します
具体例でいうと「犬は動物である」といった命題は正しいので「真」、「動物は犬である」といった命題は正しくない(全ての動物が犬ではない)ので「偽」となります

そして必要条件や十分条件とは、「は(ならば)、である」といった命題の真偽に基づいて、PQの関係を表現するときに使う用語です
一般には以下の4パターンに分類できます

この表では真を○、偽を×、「Pは(ならば)、Qである」を「PQ」としています

つまり①は、「PQ」は偽だが、「QP」が真のとき、「PであることはQであるための必要条件」と表現するということです

先程の例に合わせてPを動物、Qを犬とした場合、「動物は犬である」は偽で「犬は動物である」は真なので、この場合は①に対応します

ここまでは学校でもよく習う内容です
ではなぜ①は必要条件、②は十分条件と呼ぶのでしょうか?
次からその理由について考えていきましょう

集合関係と「必要」や「十分」の由来

必要条件や十分条件と呼ぶ理由は、適切な具体例と集合関係の大小(ベン図)で考えると非常に理解しやすくなります
以下の問題を通じて解説するので、まずは自分で考えてみてください!
3と4が本題ですが、さきほどの表は使わず解いてみましょう!

PQ を以下の2つで考える

  • P: 高校生
  • Q: 桜高校の生徒

このとき

  1. PQ」は真か偽か?
  2. P」は真か偽か?
  3. PであることはQであるための何条件か?
  4. QであることはP であるための何条件か?

 

どうでしょう?わかりましたか?
この問題は具体的に誰か特定の一人を想像して考えてみると分かりやすいです
ここではぷっちょくんで考えていきましょう

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僕がぷっちょくんだよ♪

1と2について

まずPQを集合で捉えてベン図に直すと以下の通りです

PQ」、つまりぷっちょくんが「高校生ならば、桜高校の生徒である」かどうかを考えれば良いのですが、これは偽ですよね?
高校生だからといって桜高校の生徒であるとは限りません
逆に「QP」、つまりぷっちょくんが「桜高校の生徒ならば、高校生である」かどうかを考えれば良いのですが、これは真ですね!
ぷっちょくんが桜高校に所属している場合、高校生であるのは当たり前です

一般に小さい集合をQ 、大きい集合をP としたときにQPに含まれている場合、

 

といえます
つまり「小さい集合→大きい集合」は真、「大きい集合→小さい集合」は偽です!

3について

ぷっちょくんが高校生であることは桜高校の生徒であるためには........

(少なくとも)必要な条件

ですよね!?

なぜならぷっちょくんが桜高校の生徒になるためには、まずは高校生である必要があるからです

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高校生でない人が桜高校の生徒になるのは絶対ムリだよね♪

そのため、P(高校生)であることはQ(桜高校の生徒)であるためには必要な条件となってきます
つまりPであることはQであるための必要条件となるのです!!

これを集合関係で表すと以下のようになります

一般に小さい集合をQ 、大きい集合をP としたときにQPに含まれている場合、

といえます
つまり「大きい集合は小さい集合であるための必要条件」です!

4について

ぷっちょくんが桜高校の生徒であることは高校生であるためには........

十分すぎる条件

ですよね!?

ぷっちょくんが高校生であるためには、別に桜高校でなくても問題ありません
松高校や竹高校といった他の高校でも問題ないはずです
にもかかわらず桜高校の生徒であるということは過剰な条件、つまり十分すぎる条件なのです!

そのため、Q(桜高校の生徒)であることはP(高校生)であるためには十分すぎる条件といえます
つまりQ であることはPであるための十分条件となるのです!!

これを集合関係で表すと以下のようになります

一般に小さい集合をQ 、大きい集合をP としたときにQPに含まれている場合、

といえます
つまり「小さい集合は大きい集合であるための十分条件」です!

丸暗記しない考え方

必要条件や十分条件は以下の4パターンに分類できるとはじめに述べました

 

そして今までの解説を踏まえると、必要条件か十分条件か判断するために表の対応関係を丸暗記する必要はありません!
例えば①では

より「P → Q 」が偽で「QP」が真なので、Pが大きい集合、Q が小さい集合であると分かります

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「P  → Q 」が偽で「Q  → P 」が真となるのはP が「高校生」、Q が「桜高校の生徒」のときだと考えても、集合の大小関係は分かりやすいよ♪

このとき、

なので、「PであることはQであるための必要条件」と分かります

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高校生の例だと、P(高校生)であることはQ(桜高校の生徒)であるためには必要な条件だったことからもわかるよね♪

このように具体例とベン図を用いることで丸暗記することなく必要条件や十分条件を判断することが出来るようになります!

まとめ

以上より必要条件と十分条件を本質から捉えるために重要なのは以下の2つです

  1. 「高校生」や「 桜高校の生徒」のように分かりやすい具体例で考える
  2. 集合関係の大小(ベン図)を意識する

必要条件や十分条件の考え方は二次試験でも度々登場するので、ぜひマスターしておきましょう!

 

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