数B 高校数学

直線の方程式と法線ベクトルの関係

今回のポイント

今回抑えて欲しいポイントは以下の通りです

  1. 直線の方程式を見て法線ベクトルを瞬時に言えるようにする
  2. 法線ベクトルと直線上のある一点が与えられたら直線の方程式をすぐに導けるようにする
  3. (余裕がある人は)直線だけでなく平面についても1,2を出来るようにする

特に1は正射影ベクトルで点と直線の距離の公式を導出する以下の記事でも必要となる、非常に重要な考え方です。

点と直線の距離の公式〜正射影ベクトルを用いた証明法〜

では説明していきます!

直線の方程式と法線ベクトル

直線の方程式とその法線ベクトルは以下の通りです

上記の通り、直線の法線ベクトルは方程式のx,yの係数に対応します
この事実は丸暗記せずに以下のように方程式の導出から抑えておきましょう

上記より法線ベクトルと直線上のある一点さえわかれば、直線の方程式を導出出来ます

また法線ベクトル\vec{\mathrm{n}}(\mathrm{a},\mathrm{b})としたとき方程式が\mathrm{a}{x}+\mathrm{b}{y}+\mathrm{c}=0になるということは、逆にいえば直線の方程式\mathrm{a}{x}+\mathrm{b}{y}+\mathrm{c}=0がわかれば、x, yの係数を見れば法線ベクトルが分かるということですよね?
この考え方を用いて、直線の方程式を見たら法線ベクトルを瞬時に言えようにしましょう

補足

ベクトルの成分が縦書きであることに違和感を感じたかもしれません
縦書きにすると確かにスペースをとってしまいますが、以下の二点の理由で私は横書きよりも縦書きをオススメします

  1. 座標ではなくベクトルであることが分かりやすくなる
  2. 内積計算をするときに掛け算する値どうしが横に並ぶので計算ミスが減る

平面の方程式と法線ベクトル

少し発展的内容ですが余裕がある方は平面の方程式とその法線ベクトルも抑えておきましょう

直線のときと比べて次元が一つ増えた(変数zが増えた)だけですね
また平面の法線ベクトルは方程式のx,y,zの係数に対応します
そして平面の方程式は以下のように導出できます

直線のときと同様に、法線ベクトルと平面上の一点さえわかれば、平面の方程式を導出出来ます

 

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